Question

16．过抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（　　）

• A． $±\frac{1}{3}$
• B． ±3
• C． $±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$，从而得出直线AB的斜率．

解答 解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，
过B作AA′的垂线BH，
在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为丨k值，
由抛物线的定义可知：
设|BF|=n，B为AD中点，
根据抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，
可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
|AA′|=2n，|BF|=n，
∴|AH|=n，
在直角三角形ABH中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=2$\sqrt{2}$，
则直线l的斜率k=2$\sqrt{2}$；
同理求得：直线l的斜率k=-2$\sqrt{2}$；
故选：D．

点评 本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．