Question

2．已知圆E：x²+y²-2x=0，若A为直线l：x+y+m=0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为正三角形，则实数m的取值范围是[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．

Answer 1

分析 由△ABC为正三角形，可得直线上的点与圆心的连线与切线的夹角为30°，求出直线与圆心连线的距离的最大值，转化求解即可．

解答 解：圆E：x²+y²-2x=0，圆心（1，0），半径为1，若A为直线l：x+y+m=0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为正三角形，可得圆心到直线的距离的最大值为：2，此时直线上的点与圆心的连线与切线的夹角为30°，否则不满足题意．
可得：$\frac{|1+m|}{\sqrt{2}}≤2$，
解得m∈[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．
故答案为：[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，切线方程的关系，考查转化思想以及计算能力．