Question

已知函数f（x）=x-ln（1+x）．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，n∈N^*．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：0＜a_n+1＜a_n＜1且a_n+1＜

an2

2

；
（3）若a₁=

2

2

，则当n≥2时，求证：b_n＞a_n•n!．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的单调区间；
（2）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n∈N^*．又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=a_n-ln（1+a_n）-a_n=-ln（1+a_n）＜0，从而a_n+1＜a_n．再构造函数g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln（1+x）-x，0＜x＜1．利用导数判断函数的单调性，即可证明a_n+1＜

an2

2

；
（3）由（2）a_n+1＜

an2

2

知：

an+1

an

＜

an

2

，利用累乘法可得a_n＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

．a₁＜

a1n

2n-1

=

2a12

2n

=

1

2n

． b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

-

b2

b1

≥

1

2n

-n!，即可得出证明．

解答： （1）解：因为f（x）=x-ln（1+x），所以函数定义域为（-1，+∞）   …（1分）
且f′（x）=1-

1

1+x

，…（2分）
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，所以f（x）的单调递减区间为（-1，0）；
由f′（x）＞0，得x＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）（0，+∞）．…（3分）
所以f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．…（4分）
（2）证明：先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n∈N^*．
（1）当n=1时，由已知得结论成立．
（2）假设当n=k时，结论成立，即0＜a_k＜1．则当n=k+1时，
因为0＜x＜1时，f′（x）=1-

1

x+1

，所以f（x）在（0，1）上是增函数．
又f（x）在[0，1]上连续，所以f（x）＜f（_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-ln2＜1．
故当n=k+1时，结论也成立．即0＜a_n＜1对于一切正整数都成立 …（6分）
又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=a_n-ln（1+a_n）-a_n=-ln（1+a_n）＜0，
从而a_n+1＜a_n．综上可知 0＜a_n+1＜a_n＜1  …（7分）
构造函数g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln（1+x）-x，0＜x＜1．
由g′（x）

x2

1+x

＞0，知g（x）在（0，1）上为增函数．
又g（x）在[0，1]上连续，所以g（x）＞g（0）=0．
因为0＜a_n＜1，所以g（a_n）＞0，即

an2

2

-f（a_n）＞0，从而a_n+1＜

an2

2

．…（10分）
（3）证明：因为 b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，所以，b_n＞0，

bn+1

bn

≥

n+1

2

所以 b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

-

b2

b1

≥

1

2n

-n!…①，…（12分）
由（2）a_n+1＜

an2

2

知：

an+1

an

＜

an

2

，所以

an

a1

=

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

，
因为a₁=

2

2

，n≥2，0＜a_n+1＜a_n＜1
所以 a_n＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

．a₁＜

a1n

2n-1

=

2a12

2n

=

1

2n

----②．
由①②两式可知：b_n＞a_n•n!…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，及有关数列不等式的证明等知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．