Question

15．已知数列：$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{1}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2016项
a₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{1}{63}$
• B． $\frac{1}{31}$
• C． $\frac{3}{61}$
• D． $\frac{1}{15}$

Answer 1

分析 观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*），在每一个k段内是k个分数（k∈N^*，k≥3），且它们的分子分母和为k+1；进而求出第2016项即可．

解答 解：观察数列：$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{1}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，得出：
它的项数是1+2+3+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*），
并且在每一个k段内，是$\frac{k}{1}$，$\frac{k-1}{2}$，$\frac{k-2}{3}$，…，$\frac{2}{k-2}$，$\frac{1}{k-1}$，$\frac{1}{k}$（k∈N^*，k≥3）；
令$\frac{k（k+1）}{2}$≥2016（k∈N^*），
得$\frac{63×64}{2}$=2016；
又第n组是由分子、分母之和为n+1知：
2016项位于倒数第1个数，
∴该数列的第2016项为a₂₀₁₆=$\frac{1}{63}$．
故选：A．

点评 本题考查了数列的应用问题，解题时应根据数列的特征，总结出规律，才能得出正确的结论．