Question

已知函数f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）（ω＞0）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

．
﹙Ⅰ﹚求ω的值及函数f（x）当x∈[0，π]时的单调递减区间；
﹙Ⅱ﹚当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：﹙Ⅰ﹚由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由题意可得周期T=π，可得ω=1，进而可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得函数的单调递减区间，可得答案；﹙Ⅱ﹚由x的范围结合三角函数的性质可得当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）的最小值0

解答： 解：﹙Ⅰ﹚化简可得f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）
=

3

sinωxcosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵函数f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

，
∴函数f（x）的周期T=

π

4

×4=π，∴ω=

2π

2T

=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴求ω的值为1，函数f（x）当x∈[0，π]时的单调递减区间为[

π

6

，

2π

3

]；
﹙Ⅱ﹚当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）的最小值-

1

2

+

1

2

=0

点评：本题考查三角函数恒等变换及三角函数的单调性和对称性，属基础题．