Question

已知：函数f（x）满足f（log₂x）=

2(x2-1)

3x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式并讨论其单调性；
（Ⅱ）若对任意实数x∈[-1，

1

2

]，都有|f（x）|的值不大于a²+3a+3，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）换元法求函数表达式，通过指数函数的单调性判断f（x）的单调性，（2）可知|f（x）|为偶函数，化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）令log₂x=t，则x=2^t，
f（t）=

2((2t)2-1)

3×2t

=

2

3

(2t-2-t)，
∴函数f(x)=

2

3

(2x-2-x)，
∵y=2^x在R上为增函数，y=2^-x在R上为减函数，
∴函数f(x)=

2

3

(2x-2-x)在R上为增函数．
（Ⅱ）∵f（x）为奇函数，
∴|f（x）|为偶函数，
则当x=-1时，|f（x）|_max=1，
∴1≤a²+3a+3，
解得，a≤-2或a≥-1．

点评：本题考查了换元法求函数表达式及函数四则运算的单调性判断，同时考查了恒成立问题的处理方法．属于中档题．