Question

已知函数f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），x∈R．
（1）用“五点法”作出在一个周期内f（x）的简图．（列表、作图）；
（2）写出f（x）的对称轴方程、对称中心及单调递减区间；
（3）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），x∈R的图象．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）求出对应的五点，利用“五点作图法”画出函数y=f（x）在一个周期上的图象．
（2）根据三角函数的图象和性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的解析式的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
由

1

2

x+

π

4

=0，

π

2

，π，

3π

2

，π，2π，解得x=-

π

2

，

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，

7π

2

．列表如下：

x	- π 2	π 2	3π 2	5π 2	7π 2
1 2 x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（ 1 2 x+ π 4 ）	0	3	0	-3	0

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．图象如下．
（2）由

1

2

x+

π

4

=2kπ+

π

2

，解得x=4kπ+

π

2

，即函数的对称轴方程为x=4kπ+

π

2

，k∈Z．

1

2

x+

π

4

=2kπ，解得x=4kπ-

π

2

，即函数的对称中心为（4kπ+

π

2

，0），k∈Z．
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，即函数的单调递减区间为[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．
（3）方法一：先把y=sinx的图象向左平移

π

4

个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．
方法二：先把y=sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把图象向左平移

π

2

个单位，得到f（x）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握五点作图法．