Question

3．直线l与抛物线y²=6x交于A，B两点，圆（x-6）²+y²=r²与直线l相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）
• C． （3，$2\sqrt{3}$）
• D． （3，3$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±3$\sqrt{2}$，利用M在圆上，（x₀-6）²+y₀²=r²，r²=y₀²+9≤18+9=27，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=6x₁，y₂²=6x₂，
相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=3，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-6}=-\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y²=6x，得y²=18，
∴-3$\sqrt{2}$＜y₀＜3$\sqrt{2}$，
∵M在圆上，
∴（x₀-6）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+9≤18+9=27，
∵直线l恰有4条，
∴y₀≠0，
∴9＜r²＜27，
故3＜r＜3$\sqrt{3}$时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，3＜r＜3$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．