Question

13．已知数列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，则a_n=^{$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N*}．

Answer 1

分析 数列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，a_n+1+a_n+2=$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．可得a_n+2-a_n=-$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k+2}}$．利用a_n=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₄-a₂）+a₂，即可得出．n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k-1+a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k}}$，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{4}\;，\;{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{5}{{{4^{n+1}}}}$，
∴a_n+1+a_n+2=$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．
∴a_n+2-a_n=-$\frac{5}{{4}^{n+2}}$．
∴n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k+2}}$．
∴a_n=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₄-a₂）+a₂
=-$\frac{5}{{4}^{2k}}$-$\frac{5}{{4}^{2k-2}}$-…-$\frac{5}{{4}^{4}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$=-$\frac{5×\frac{1}{256}（1-\frac{1}{1{6}^{k-1}}）}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{3×1{6}^{k}}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k-1+a_2k=$\frac{5}{{4}^{2k}}$，
∴a_2k-1=$\frac{5}{1{6}^{k}}$-$（\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}）$=$\frac{14}{3×1{6}^{k}}$-$\frac{1}{24}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{24}+\frac{1}{3×1{6}^{k}}，n=2k}\\{\frac{14}{3×1{6}^{k}}-\frac{1}{24}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．