Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），记函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
（1）求函数f（x）的周期以及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

．再利用三角函数的图象与性质即可得出．
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=

5 3

2

sin2x+

5(1+cos2x)

2

+1
=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

．
∴T=

2π

2

=π．
当sin(2x+

π

6

)=1时，函数f（x）取得最大值

17

2

；当sin(2x+

π

6

)=-1时，函数f（x）取得最小值-

3

2

．
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当0≤x≤

π

6

时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∴f（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间为[0，

π

6

]．

点评：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．