Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），且x∈（-1，1）时，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的范围．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：先验证函数具备奇偶性，再分a＞1、0＜a＜1两种情况讨论函数的单调性．

解答： 解：由函数的解析式易得f（-x）=-f（x），∴函数为奇函数，
（1）当a＞1时，函数f（x）=a^x-a^-x为增函数，又x∈（-1，1），
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），即f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

，解得1＜m＜

2

，
（2）当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x-a^-x为减函数，又x∈（-1，1），
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），即f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

，解得0＜m＜1，
综上，当a＞1时，1＜m＜

2

；当0＜a＜1时，0＜m＜1．

点评：本题主要考查函数性质的综合应用，特别地，对于指数函数应从底数入手，讨论函数的单调性．