Question

如果函数f（x）满足：af（x）+f（

1

x

）=ax（x≠0，a为常数且a≠±1），则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题需要建立另一个关于f（x），f(

1

x

)的等式，这两个等式联立解出f（x）即可．所以令

1

x

=t，x=

1

t

，带入af（x）+f(

1

x

)=ax    ①，便可得到f(x)+af(

1

x

)=

a

x

       ②，①②两式联立即可求出f（x）．

解答： 解：令

1

x

=t，x=

1

t

，∴带入af（x）+f（

1

x

）=ax     ①得：
af(

1

t

)+f(t)=

a

t

，∴f(x)+af(

1

x

)=

a

x

      ②；
①②联立可得：f（x）=

a2x2-a

(a2-1)x

．
故答案为：

a2x2-a

(a2-1)x

．

点评：考查函数解析式的概念，以及通过换元求得另一个关于f（x）的式子来求函数解析式的方法．