Question

如图，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分别是AB，PC，CD的中点，求证：
（Ⅰ）直线AR∥平面PMC；
（Ⅱ）直线MN⊥直线AB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理，只要判断AR∥CM即可；
（2）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线四边形AMNE为平行四边形，所以AE∥MN，又因AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，根据线面平行的判定定理可知A₁C∥平面BDE，从而MN∥平面PAD．根据PA⊥矩形ABCD则PA⊥CD，又因四边形ABCD为矩形则AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，又因AE?在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CD⊥AE，根据AE∥MN，可知MN⊥AB．

解答： 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是矩形并且M，R是AB，CD的中点，
所以AM∥CR，AM=CR，
所以四边形AMCR是平行四边形，
所以AR∥MC，AR?平面PMC，MC?平面PMC，
所以AR∥平面PMC．
（Ⅱ）取的PD中点为E，并连接NE，AE如图

∵M、N分别为AB、PC的中点
∴NE∥CD且NE=

1

2

CD，AM∥CD且AM=

1

2

CD，
∴AM∥NE且AM=NE
∴四边形AMNE为平行四边形
∴AE∥MN
又∵又AE?在平面PAD，MN?在平面PAD∴A₁C∥平面BDE．
∴MN∥平面PAD
∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又
∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD
∴CD⊥平面PAD
又∵AE?在平面PAD∴CD⊥AE
又∵AE∥MN
∴MN⊥AB．

点评：本小题主要考查直线与平面平行，以及空间两直线的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．