Question

12．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e-x）；
（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点的横坐标为x₀，证明：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求导，令f′（x）=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）的极值；
（2）采用分析法，要证明f（e+x）＞f（e-x），只需证（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），构造辅助函数求导，由F′（x）＞0，即可求得函数单调性递增，F（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e-x）；
（3）由（1）可知0＜x₁＜e＜x₂，则0＜e-x₁＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上单调递减，x₁+x₂＞2e，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e，即可f'（x₀）＜0．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，求导f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=e时，f（x）取极大值为$\frac{1}{e}$，无极小值，
（2）证明：要证明f（e+x）＞f（e-x），即证$\frac{ln（e+x）}{e+x}$＞$\frac{ln（e-x）}{e-x}$，
只需证（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
设F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），
求导F′（x）=$\frac{2（{e}^{2}+{x}^{2}）}{{e}^{2}-{x}^{2}}$-ln（e²-x²）=[2-ln（e²-x²）]+$\frac{4{x}^{2}}{{e}^{2}-{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，e）单调递增，
∴F（x）＞F（0）=0，
∴（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
∴f（e+x）＞f（e-x），
（3）证明：不妨设x₁＜x₂，由（1）可知0＜x₁＜e＜x₂，
由0＜e-x₁＜e，
由（2）可知：f[e+（e-x₁）]＞f[e-（e-x₁）]=f（x₁）=f（x₂），
由2e-x₁＞e，x₂＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，
即x₁+x₂＞2e，
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e，
∴f'（x₀）＜0．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查分析法证明不等式成立，考查计算能力，属于中档题．