Question

20．如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①$\frac{|AP|}{|AD|}$=$\frac{|DQ|}{|DC|}$，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，整理即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，则梯形面积$S=\frac{1}{2}（2+{x_0}）{y_0}$=$\frac{1}{4}\sqrt{（4-x_0^2）{{（2+{x_0}）}^2}}$，t=2+x₀，2＜t＜4，$S=\frac{1}{4}\sqrt{4{t^3}-{t^4}}$，根据函数的单调性即可求得梯形ORMN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设AQ于BP交点C为（x，y），P（-2，y₁），Q（x₁，2），
由题可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，（4分）
从而有$\frac{-4y}{x-2}=\frac{x+2}{y}$，整理得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即为椭圆方程，
椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；（6分）
（Ⅱ）R（2，0），设M（x₀，y₀），有${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，
从而所求梯形面积$S=\frac{1}{2}（2+{x_0}）{y_0}$=$\frac{1}{4}\sqrt{（4-x_0^2）{{（2+{x_0}）}^2}}$，（8分）
令t=2+x₀，2＜t＜4，$S=\frac{1}{4}\sqrt{4{t^3}-{t^4}}$，
令u=4t³-t⁴，u'=12t²-4t³=4t²（3-t），（10分）
当t∈（2，3）时，u=4t³-t⁴单调递增，
当t∈（3，4）时，u=4t³-t⁴单调递减，则当t=3时S取最大值$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
梯形ORMN面积的最大值$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．（12分）

点评 本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查函数单调性与椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题．