Question

2．关于x的方程$（{k-7}）{x^2}+4lnx-\frac{1}{x^2}+k=0$有两个不等实根，则实数k的取值范围是（4，7）．

Answer 1

分析 分离参数k=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$，求出右侧函数的单调性和最值或极限，从而得出k的范围．

解答 解：∵$（{k-7}）{x^2}+4lnx-\frac{1}{x^2}+k=0$有两解，
∴k=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$有两解，
令f（x）=$\frac{7{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4lnx}{{x}^{2}+1}$，则f′（x）=$\frac{8xlnx+10x-\frac{8}{x}-\frac{2}{{x}^{3}}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=4，
又x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→7，
∴4＜k＜7．
故答案为（4，7）．

点评 本题考查了方程根的个数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．