Question

19．已知函数f（x）=|2x-4|．
（1）解不等式f（x）+f（1-x）≤10；
（2）若a+b=4，证明：f（a²）+f（b²）≥8．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去掉绝对值符号，再解不等式；
（2）把b=4-a代入f（b²），得出f（a²）+f（b²）关于a的解析式，利用绝对值不等式的性质化简即可得出结论．

解答 （1）解：∵f（x）+f（1-x）≤10，
即|2x-4|+|2+2x|≤10．即|x-2|+|x+1|≤5，
当x≤-1时，不等式转化为2-x-x-1≤5，解得-2≤x≤-1，
当-1＜x＜2时，不等式转化为2-x+x+1≤5，不等式恒成立，
当x≥2时，不等式转化为x-2+x+1≤5，解得2≤x≤3．
∴不等式的解集为：{x|-2≤x≤3}．
（2）证明：若a+b=4，则b²=（4-a）²=a²-8a+16，
∴f（b²）=|2a²-16a+28|=2|a²-8a+14|，
∴f（a²）+f（b²）=2|a²-2|+2|a²-8a+14|
≥2|2a²-8a+12|=4|a²-4a+6|=4|（a-2）²+2|≥4×2=8．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，属于中档题．