Question

7．已知正项等比数列{a_n}的公比q＞1，且满足a₂=6，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=900，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式λa_n≤1+S_n对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 求出数列的公比，求出前n项和，利用不等式求解最值即可．

解答 解：正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=6，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=900，
可得a₂²+2a₂²q²+a₂²q⁴=900，
∴1+2q²+q⁴=25
解得q=2，
∴a₁=3
∴a_n=a₁q^n-1=3×2^n-1，
S_n=$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3×2ⁿ-3，
不等式λa_n≤1+S_n对一切n∈N^*恒成立，
∴λ≤$\frac{1+{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n}-2}{3×{2}^{n-1}}$，
∵2-$\frac{2}{3×{2}^{n-1}}$≥2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
则实数λ的最大值为：$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列的应用，数列求和，以及不等式的应用，最值的求法．