题目内容
9．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，点B∈C，若$\overrightarrow{FA}=-3\overrightarrow{FB}$，则|FB|=（ ）| A． | 4 | B． | 8 | C． | $\frac{4}{3}$ | D． | $\frac{8}{3}$ |
分析 由题意可知丨DF丨=2，丨BF丨=丨BH丨，由丨FA丨=3丨FB丨，则cos∠HBA=$\frac{1}{4}$，即可求$\frac{丨DF丨}{丨AF丨}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，即可求得丨AF丨，求得|FB|．
解答 解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过B作BH⊥准线l，
准线l与x轴交点为D，则丨DF丨=2，
∴丨BF丨=丨BH丨，
由$\overrightarrow{FA}=-3\overrightarrow{FB}$，则丨FA丨=3丨FB丨，
则丨AB丨=4丨FB丨=4丨BH丨，
则cos∠HBA=$\frac{1}{4}$，
由cos∠OFA=$\frac{丨DF丨}{丨AF丨}$=$\frac{1}{4}$，则丨AF丨=8，
∴丨FB丨=$\frac{8}{3}$，
故选D．
点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则φ=$-\frac{5π}{6}$．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，$\frac{{C{C_1}}}{{{C_1}E}}=\sqrt{2}$
如图所示，四棱锥P-ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥
18．已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为$P\;（x\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，则cos2α=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $-\frac{1}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | 1 |
6．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占$\frac{8}{13}$，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：
（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（ i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| 分数大于等于120分 | 分数不足120分 | 合 计 | |
| 周做题时间不少于15小时 | 15 | 4 | 19 |
| 周做题时间不足15小时 | 10 | 16 | 26 |
| 合 计 | 25 | 20 | 45 |
（Ⅱ）（ i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| P（K2≥k0） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |