Question

4．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线4x²-12y²=3的右焦点重合，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，过A作AB垂直M于y轴，垂足为B．OB的中点为M
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）以点M为圆心，MB为半径作圆M．当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出双曲线4x²-12y²=3的右焦点坐标，即可求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求出圆心M（0，2）到直线AK的距离，即可讨论直线AK与圆M的位置关系．

解答 解：（Ⅰ）设双曲线4x²-12y²=3的右焦点坐标为F（c，0），
由4x²-12y²=3得$\frac{x^2}{{\frac{3}{4}}}-\frac{y^2}{{\frac{1}{4}}}=1$，∴$c=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$．（2分）
∴$\frac{p}{2}=1$，即p=2，故抛物线的标准方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）∵点A的横坐标为4，且位于x轴上方的点，∴y=4
∴点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）．（5分）
∴圆M的圆心是点（0，2），半径为2．
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆M相离．（6分）
当m≠4时，直线AK的方程为$y=\frac{4}{4-m}（x-m）$，
即为4x-（4-m）y-4m=0．（7分）
圆心M（0，2）到直线AK的距离为$d=\frac{{|{2m+8}|}}{{\sqrt{16+{{（m-4）}^2}}}}$，（8分）
令d＞2，解得m＞1．（9分）
∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；（（10分））
当m=1时，直线AK与圆M相切； （11分）
当m＜1时，直线AK与圆M相交．（12分）

点评 本题考查双曲线、抛物线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．