Question

12．已知{a_n}是等比数列，满足a₁=3，a₄=24，数列{a_n+b_n}是首项为4，公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q．a₁=3，a₄=24
得q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=8，q=2．
所以a_n=3•2^n-1． 
又数列{a_n+b_n}是首项为4，公差为1的等差数列，
所以a_n+b_n=4+（n-1）=n+3．
从而b_n=n+3-3•2^n-1． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n+3-3•2^n-1．
数列{n+3}的前n项和为$\frac{n（n+7）}{2}$．
数列{3•2^n-1}的前n项和为$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3×2ⁿ-3．
所以，数列{b_n}的前n项和为为$\frac{n（n+7）}{2}$-3×2ⁿ+3．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．