给定正整数k≥3.若项数为k的数列{an}满足:对任意的i=1.2.-.k.均有ai≤Skk-1(其中Sk=a1+a2+-+ak).则称数列{an}为“Γ数列．(Ⅰ)判断数列-1.3.5.2.4和34.3242.3343是否是“Γ数列 .并说明理由,(Ⅱ)若{an}为“Γ数列 .求证:ai≥0对i=1.2.-.k恒成立,(Ⅲ)设{bn}是公差为d的无穷项等差数列.若对任� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给定正整数k≥3，若项数为k的数列{a_n}满足：对任意的i=1、2、…、k，均有a_i≤

k-1

（其中S_k=a₁+a₂+…+a_k），则称数列{a_n}为“Γ数列”．
（Ⅰ）判断数列-1，3，5，2，4和

，

是否是“Γ数列”，并说明理由；
（Ⅱ）若{a_n}为“Γ数列”，求证：a_i≥0对i=1，2，…，k恒成立；
（Ⅲ）设{b_n}是公差为d的无穷项等差数列，若对任意的正整数m≥3，b₁，b₂，…，b_m均构成“Γ数列”，求{b_n}的公差d．

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据“Γ数列”的定义，即可判断数列-1，3，5，2，4和

，

是否是“Γ数列”，
（Ⅱ）若{a_n}为“Γ数列”，利用反证法即可证明：a_i≥0对i=1，2，…，k恒成立；
（Ⅲ）

解答： 解：（Ⅰ）①因为

5-1

＜5，数列-1，3，5，2，4不是“Γ数列，
②因为

3-1

111

128

＞

，又

是数列

，

中的最大项
所以数列

，

是“Γ数列”．
（Ⅱ）反证法证明：
假设存在某项a_i＜0，则
a₁+a₂+…+a_i-1+a_i+1+…+a_k-1+a_k=S_k-a_i＞S_k．
设a_j=max{a₁，a₂，…a_i-1，a_i+i…，a_k-1+a_k}，
则S_k-a_i=a₁+a₂+…+a_i-1+a_i+1+…+a_k-1+a_k≤（k-1）a_j，
所以（k-1）a_j＞S_k，即a_j＞

k-1

，
这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确．
（Ⅲ）由（Ⅱ）问可知b₁≥0，d≥0．
①当d=0时，b₁=b₂=…=b_m=

＜

m-1

，符合题设；
②当d＞0时，b₁＜b₂＜…＜b_m，
由“Γ数列”的定义可知b_m≤

m-1

，即（m-1）[b₁+（m-1）d]≤mb₁+

m（m-1）d，
整理得（m-1）（m-2）d≤2b₁（*）
显然当m=2b₁+3时，上述不等式（*）就不成立
所以d＞0时，对任意正整数m≥3，（m-1）（m-2）d≤2b₁不可能都成立．
综上讨论可知{b_n}的公差d=0．

点评：本题主要考查数列新定义的应用，正确理解“Γ数列”的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．