Question

如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=

1

2

EA=1．
（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；
（Ⅱ）求证：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面ABCD内过K点作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接ED，由已知条件推导出FD⊥底面ABCD，AD⊥面FDC，由此能求出多面体EABCDF的体积．
（Ⅱ）由已知条件得AB⊥BC，BC⊥EA，从而得到BC⊥平面EAB，由此能证明平面EAB⊥平面EBC．
（Ⅲ）取线段DC的中点Q，连接KQ，直线KQ即为所求．

解答： （Ⅰ）解：如图，连接ED，
∵EA⊥底面ABCD，且FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，
∵DC⊥AD，FD∩CD=D，
∴AD⊥面FDC，…（1分）
∴V_E-FCD=

1

3

AD•S△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，…（2分）
V_E-ABCD=

1

3

EA•SABCD=

1

3

×2×2×2=

8

3

，（3分）
∴V_多面体=V_E-FCD+V_E-ABCD=

10

3

．（5分）
（Ⅱ）证明：∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC．（6分）
∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥EA．（7分）
又AB∩EA=A，∴BC⊥平面EAB．（8分）
又∵BC?平面EBC，
∴平面EAB⊥平面EBC．（10分）
（Ⅲ）解：取线段DC的中点Q，连接KQ，
则直线KQ即为所求．…（11分）
图上有正确的作图痕迹…（12分）

点评：本题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．