Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴的两个端点分别为B₁、B₂，焦点为F₁、F₂，四边形F₁B₁F₂B₂的内切圆半径为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦F₁点的直线交椭圆于M、N两点，交直线x=-4于点P，设

PM

=λ

MF1

，

PN

=μ

NF2

，试证λ+μ为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设四边形F₁B₁F₂B₂的内切圆与边B₂F₂的切点为G，连接OG，则|OG|=

3

2

．由S△OB2F2利用等积法得bc=

3

2

a，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，整理得 （3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0．由此利用韦达定理结合已知条件能证明λ+μ=0为定值．

解答： （Ⅰ）解：如图所示，设四边形F₁B₁F₂B₂的内切圆与边B₂F₂的切点为G，
连接OG，则|OG|=

3

2

．由S△OB2F2=

1

2

|OB2|•|OF2|=

1

2

|B2F2|•|OG|，
|OB₂|=b，|OF₂|=c，|B₂F₂|=a，
得bc=

3

2

a，又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，解得a=2，b=

3

，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）证明：根据已知条件可设直线MN的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，整理得 （3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1+x2=- 8k2 3+4k2 x1x2= 4(k2-3) 3+4k2

．
又P（-4，-3k），由

PM

=λ

MF1

，

PN

=μ

NF1

，
得λ=-

x1+4

x1+1

，μ=-

x2+4

x2+1

．…（9分）
∴λ+μ=-

x1+4

x1+1

-

x2+4

x2+1

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

，
∵2x₁x₂+5（x₁+x₂）+8
=2•

4(k2-3)

3+4k2

+5(-

-8k2

3+4k2

)+8
=

8k2-24-40k2+32k2+24

3+4k2

=0，
∴λ+μ=0为定值．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．