Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中点，F是棱CC₁上的点．
（1）若F是棱CC₁中点时，求证：AE⊥平面A₁FB；
（2）当V_E-ABF=9

3

时，求正方形AA₁C₁C的边长．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点为M，连接EF，EM，CM，由已知条件推导出四边形EMCF是平行四边形，由AE⊥A₁B，AE⊥A₁B，能证明AE⊥平面A₁FB．
（Ⅱ）设正方形AA₁C₁C的边长为x，由已知条件推导出点F到平面EAB的距离即为点C到平面平面AA₁B的距离，由V_E-EABF=V_F-ABE，利用等积法能求出正方形的边长．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中点为M，连接EF，EM，CM，
∵E是A₁B的中点，F是棱CC₁中点，
∴EM∥AA₁，FC∥AA₁，EM=FC=

1

2

AA1，
则四边形EMCF是平行四边形，∴EF∥CM，
又∵△ABC为正三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，
∴AA₁=AB，∴AE⊥A₁B，CM⊥AB，
∵侧棱AA₁⊥平面ABC，∴CM⊥AA₁，∴CM⊥平面A₁AB，
∴EF⊥平面A₁AB，∴EF⊥AE，
又∵AE⊥A₁B，A₁B∩EF=E，∴AE⊥平面A₁FB．…（6分）
（Ⅱ）设正方形AA₁C₁C的边长为x，
由于E是A₁B的中点，△EAB的面积为定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，∴点F到平面EAB的距离为定值，
即为点C到平面平面AA₁B的距离，
又V_E-EABF=V_F-ABE，且V_F-ABE=

1

3

S△ABE•h=9

3

．
即

1

3

•

1

2

•x•

3

2

x=9

3

，解得x³=216，即x=6．
∴正方形的边长为6．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查正方形的边长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．