Question

已知函数f（x）=x³+ax²-1（a∈R是常数）．
（1）设a=-3，x=x₁、x=x₂是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点M(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))对称；
（2）是否存在常数a，使得?x∈[-1，5]，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=-3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点P(x0，x03-3x02-1)关于M对称的点Q，由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立；
（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为-

32+x3

x2

≤a≤

34-x3

x2

，然后构造两个函数g1(x)=-

32+x3

x2

=-x-

32

x2

，g2(x)=

34-x3

x2

=-x+

34

x2

，由导数求其最值得答案．

解答： （1）证明：当a=-3时，f（x）=x³-3x²-1，f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2，
∴M(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))=M（1，-3），
曲线y=f（x）上任意一点P(x0，x03-3x02-1)关于M对称的点为Q(2-x0，-x03+3x02-5)，
则f(2-x0)=(2-x0)3-3(2-x0)2-1=-x03+3x02-5，
∴点Q在曲线y=f（x）上，
∴曲线y=f（x）关于点M对称；
（2）解：由|f（x）|≤33，即|x³+ax²-1|≤33，
得-33≤x³+ax²-1≤33，
x=0时，不等式恒成立；
x≠0时，不等式等价于-

32+x3

x2

≤a≤

34-x3

x2

，
作g1(x)=-

32+x3

x2

=-x-

32

x2

，g2(x)=

34-x3

x2

=-x+

34

x2

，
则g1/(x)=-1+

64

x3

，g2/(x)=-1-

68

x3

，
解g1/(x)=0，得x₁=4，
解g2/(x)=0，得x2=-

3	68

．
列表：

x	[-1，0）	（0，4）	4	（4，5]
g1/(x)	-	+	0	-
g1（x）	↘	↗	极大值	↘
g2/(x)	+	-	-	-
g2（x）	↗	↘		↘

g₁（-1）=-31，g₁（4）=-6，g1(x)=-

32+x3

x2

在[-1，0）∪（0，5]的最大值为-6；
g₂（-1）=35，g2(5)=-

91

25

，g2(x)=

34-x3

x2

在[-1，0）∪（0，5]的最小值为-

91

25

．
综上所述，a的取值范围为[-6，-

91

25

]．

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．