Question

4．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC
（Ⅰ）求证：PD=2AB；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；
（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠PAD=∠PCB，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD∽△CPB，
∴$\frac{PD}{PB}$=$\frac{AD}{CB}$，
∵BP=2BC
∴PD=2AD，
∴AB=AD，
∴PD=2AB；
（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，
∴2t×5=（4-t）×4
∴t=$\frac{8}{7}$，即AB=$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．