下列叙述正确的有①④(将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上)．①集合{0.1.2}的非空真子集有6个,②集合A={1.2.3.4.5.6}.集合B={y|y≤5.y∈N*}.若f:x→y=|x-1|.则对应关系f是从集合A到集合B的映射,③函数y=tanx的对称中心为,④函数f=-$\frac{1}{f(x-2)}$恒成立.则函数f(x)是周期为4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．下列叙述正确的有①④（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）．
①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；
②集合A={1，2，3，4，5，6}，集合B={y|y≤5，y∈N^*}，若f：x→y=|x-1|，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；
③函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；
④函数f（x）对任意实数x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-2）}$恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数．

分析 ①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；②举反例x=1时不合题意；③反例（$\frac{π}{2}$，0）也是函数y=tanx的对称中心；④可证f（x+4）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），由周期函数的定义可得．

解答解：①集合{0，1，2}的非空真子集有：{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}共6个，故正确；
②当x取集合A={1，2，3，4，5，6}中的1时，可得y=|x-1|=0，而0不在集合B中，故错误；
③（$\frac{π}{2}$，0）也是函数y=tanx的对称中心，而（$\frac{π}{2}$，0）不在（kπ，0）（k∈Z）的范围，故错误；
④∵函数f（x）对任意实数x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-2）}$恒成立，则f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故正确．
故答案为：①④

点评本题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题．