Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，正项数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*），若{b_n}是公比为2的等比数列
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）S_n为{a_n}的前n项和，且S_n＞2016恒成立，求正整数n的最小值n₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，可得数列{a_n}奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2．即可得出．
（II）对n分类讨论，利用求和公式即可得出，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，∴数列{a_n}奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2．
∵a₁=1，a₂=2，∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}}，n为正奇数\\{（\sqrt{2}）^n}，n为正偶数\end{array}\right.$．
（Ⅱ）当n是偶数时S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）=$3+3•2+3•4+…+3•{2^{\frac{n}{2}-1}}$
=$3•{2^{\frac{n}{2}}}-3$，
由$3•{2^{\frac{n}{2}}}-3＞2016$，得${2^{\frac{n}{2}}}＞673$，∴n≥20．
当n是奇数时${S_n}={S_{n-1}}+{a_n}=3•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3+{2^{\frac{n-1}{2}}}^{\;}$=$4•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3$，
由$4•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3≥2016$得 ${2^{\frac{n+3}{2}}}≥2019$，
∴n≥19．
综上可得，n₀=19．

点评 本题考查了递推公式、数列求和、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．