Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A（1，0），点P是椭圆C上的一个动点，求|PA|的最小值及此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，从而求得；
（2）利用参数法设点P（2cosα，sinα），从而得到|PA|²=（2cosα-1）²+sin²α，化简求最值及最值时点P的坐标即可．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=1；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设点P（2cosα，sinα），则
|PA|²=（2cosα-1）²+sin²α
=4cos²α-4cosα+1+sin²α
=3cos²α-4cosα+2
=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
故当cosα=$\frac{2}{3}$时，|PA|²有最小值$\frac{2}{3}$，
此时sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
即当P（$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）或P（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）时，|PA|有最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及参数法求最值问题的应用．