Question

8．已知函数f（x）=（2-x） e^x，曲线f（x）在x=0处的切线方程为l．
（1）求证：当x≥0时，f（x）图象在l下方；
（2）若n∈N^*，求证：f（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{e^2}$f（2-$\frac{1}{n}$）≤2+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）先求出切线方程，再构造g（x）=（2-x） e^x-x-2，证明g（x）递减，又g（0）=0，所以g（x）≤0，即可得出结论；
（2）由（1）知：（2-x） e^x≤x-2，则$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，设h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，证明 e^x＞x+1在x≥0时恒成立，即可证明结论．

解答 证明：（1）f'（x）=（1-x） e^x，f（0）=2，f'（0）=1，所以l：y=x+2…（1分）
设g（x）=（2-x） e^x-x-2，g'（x）=f（x）-（x+2）=（1-x） e^x-1，…（2分）
g''（x）=-x e^x，当x≥0时，g''（x）＜0，g'（x）递减，
又g'（0）=0，∴g'（x）≤0，…（4分）
所以g（x）递减，
又g（0）=0，所以g（x）≤0，
所以f（x）≤x+2，即f（x）图象在l下方…（5分）
（2）由（1）知：（2-x） e^x≤x-2，则$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$…（6分）
设h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，
当x≥0时，h'（x）＞0，所以h（x）=e^x-x-1在x≥0时递增，而h（0）=0，
所以h（x）＞0，即e^x＞x+1在x≥0时恒成立，
所以${e^{\frac{1}{n}}}＞\frac{1}{n}+1$，所以$\frac{1}{{{e^{\frac{1}{n}}}}}＜\frac{1}{{\frac{1}{n}+1}}$，即${e^{-\frac{1}{n}}}＜\frac{n}{n+1}$．…（10分）
于是$\frac{1}{e^2}f（2-\frac{1}{n}）=\frac{1}{e^2}[2-（2-\frac{1}{n}）]{e^{2-\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n}{e^{-\frac{1}{n}}}＜\frac{1}{n+1}$，…（11分）
所以$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{e^2}f（2-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=2+\frac{1}{n}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．