Question

19．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根据三角函数周期公式进行求解即可，根据正弦函数的减区间建立关系式，可求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$ 得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即可求f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x） 的最小正周期为π，…2分
又由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈z$ 得$kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{5π}{3}，k∈z$，
所以函数的单调递减区间为：[k$π+\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$]（k∈Z）…5分
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$ 得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，…7分
所以$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$ …10分
所以$-2≤2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1≤1$ …11分
所以值域：[-2，1]…12分

点评 本题考查了形如y=Asin（ωx+φ）的形式的周期性，以及最值的求解和函数的单调性．一般情况下，要研究形如y=Asin（ωx+φ）的形式的函数，都会将ωx+φ看作一个整体，利用正弦函数和余弦函数的图象和性质求解．属于中档题．