题目内容
20．已知关于x的方程3x2-2ax+a-1=0（x∈R）．（1）证明不论a取任何实数值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）若两根x1，x2满足|x1-x2|=$\frac{2}{3}$，求a的值；
（3）若两根x1，x2满足x1＜2且x2＞2，求实数a的取值范围．
分析 （1）根据一元二次方程的判别式△大于零恒成立，可得方程必有两个不相等的实数根．
（2）利用韦达定理求得x1+x2和 x1•x2的值，再根据|x1-x2|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，求得a的值．
（3）由题意可得f（2）=12-4a+a-1＜0，求得实数a的范围．
解答 解：（1）证明：∵关于x的方程3x2-2ax+a-1=0，∵它的判别式△=4a2-12（a-1）=4[${（a-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$]＞0恒成立，
故不论a取任何实数值，方程必有两个不相等的实数根．
（2）利用韦达定理可得x1+x2 =$\frac{2a}{3}$，x1•x2=$\frac{a-1}{3}$，∴|x1-x2|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{4a}^{2}}{9}-\frac{4（a-1）}{3}}$=$\frac{2}{3}$，
求得a=1，或 a=2．
（3）若两根x1，x2满足x1＜2且x2＞2，则f（2）=12-4a+a-1＜0，求得实数a＞$\frac{11}{3}$．
点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
10．若直线l1：ax+2y+a+3=0与l2：：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为（ ）
| A． | 1 | B． | -2 | C． | 1或-2 | D． | -1或2 |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若x1，x2∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
9．已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，四边形ABCD为正方形，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |