题目内容
20．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{5}{8}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{13}{16}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
分析 菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线上，三棱锥的高最大时，平面ABD⊥平面BCD．
解答 解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：
点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为△AEC过A点的高；
所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；
求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：
平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，
AD=DC=1，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EC′=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，AC′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
|cos∠ADC′|=|$\frac{1+1-\frac{10}{4}}{2×1×1}$|=$\frac{1}{4}$，
所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$，
故选B．
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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10．设点P为函数f（x）=x3-$\frac{1}{4x}$图象上任一点，则f（x）在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为（ ）
| A． | [$\frac{π}{3}$，π） | B． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$） | C． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$） | D． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$） |