题目内容
8．已知数列{an}的前n项和是Sn，S7=49，a3=5，且对任意的正整数n都有2an+1=an+an+2．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=an•2n，n∈N+，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）由2an+1=an+an+2，知数列{an}为等差数列，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an•2n=（2n-1）•2n，利用错位相减求和法能求出数列{bn}的前n项和．
解答 解：（1）∵数列{an}的前n项和是Sn，S7=49，a3=5，且对任意的正整数n都有2an+1=an+an+2．
∴数列{an}为等差数列，设公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{7}=7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=49}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，
解得a1=1，d=2，
∴an=2n-1．…（6分）
（2）∵bn=an•2n=（2n-1）•2n，
∴数列{bn}的前n项和：
Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，…①
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-1）×2n+1，…②
①-②得-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1
=$2+2×\frac{4-{2}^{n+1}}{1-2}-（2n-1）×{2}^{n+1}$
=（3-2n）×2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）×2n+1+6．…（12分）
点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、裂项求和法的合理运用．
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