Question

5．已知函数f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）（a＞0，a≠1为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-3x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）把a=2代入函数解析式，由x的范围求得对数函数真数的范围，则函数值域可求；
（Ⅲ）由对数的运算性质化简y=a^f（x），把函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-3x+1的上方转化为成立，分离参数a后求出二次函数的最值，则答案可求．

解答 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则ax-$\sqrt{x}$＞0，且x≥0，
即x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，即函数f（x）的定义域{x|x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
（Ⅱ）若a=3，则f（x）=log₃（3x-$\sqrt{x}$），
∵x∈[1，9]，
∴$\sqrt{x}$∈[1，3]，
则3x-$\sqrt{x}$∈[2，24]，
∴函数f（x）的值域为[log₃2，log₃24]；
（Ⅲ）y=a^f（x）=ax-$\sqrt{x}$，
函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-3x+1的上方，
即ax-$\sqrt{x}$-（-3x+1）＞0恒成立，
也就是a＞$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-3在（$\frac{1}{{a}^{2}}$，+∞）上恒成立．
令$\sqrt{x}$=t，则t∈（0，a），
则a＞t²+t-3在t∈（0，a）恒成立，
∴a≥a²+a-3，解得0＜a＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了数学转化思想方法，训练了分类变量法及配方法求参数的取值范围，是中档题．