Question

3．f（x）=-x|x|+px．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当p=-2时，判断函数f（x）在（-∞，0）上单调性并加以证明；
（3）当p=2时，画出函数的图象并指出单调区间．

Answer 1

分析 （1）函数是奇函数，利用奇函数的定义，证明f（-x）=f（x）即可；
（2）函数是单调递减函数，利用单调性的定义证明；
（3）根据解析式可得函数的图象，即可指出单调区间．

解答 解：（1）定义域是R，函数是奇函数． 
证明：∵f（-x）=x|-x|-px=-（-x|x|+px）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数                                          （2分）
（2）是单调递减函数．当x∈（-∞，0）时，f（x）=x²-2x
理由：设x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂-2＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数． 　　（7分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x（x≥0）\\{x^2}+2x（x＜0）\end{array}\right.$

增区间[-1，1），减区间（-∞，-1）和[1，+∞）（12分）

点评 本题综合考查函数的奇偶性与单调性，考查奇偶性、单调性的定义，证明单调性的关键在于作差变形这一步．