题目内容

已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率e=
2
5
，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（1，0）满足(
MA
+
MB
)⊥
AB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，由题意知b=1．e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
2
5
，解出即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由(
MA
+
MB
)⊥
AB
，可得(
MA
+
MB
)•
AB
=0，利用根与系数的关系、向量坐标运算、数量积运算可得3k2-1=0，解出即可得出．（Ⅲ）依题意知C(
x
 
1
，-
y
 
1
)，直线BC的方程为y+y1=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)，令y=0，可得x=
y1x2+y2x1
y1+y2
．l的方程为y=k（x-2），A、B在直线l上，可用k，x1，x2表示y1，y2即可得出x=
5
2
为定值．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由(
MA
+
MB
)⊥
AB
，可得|MA|=|MB|，利用两点之间的距离公式即可解出．
（Ⅲ）设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则
CB
∥
CN
，利用向量共线定理可得t=
5
2
．即可得出．
解答： 解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，由题意知b=1．
∴
a2-b2
a2
=
2
5
⇒a2=5，故椭圆方程为
x2
5
+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），
代入
x2
5
+y2=1，得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
20k2
5k2+1
，x1x2=
20k2-5
5k2+1
，
∴y1+y2=k（x1+x2-4），y1-y2=k（x1-x2），
∴
MA
+
MB
=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，
AB
=(x2-x1，y2-y1)，
∵(
MA
+
MB
)⊥
AB
，
∴(
MA
+
MB
)•
AB
=0，
∴（x1+x2-2）（x2-x1）+（y2-y1）（y1+y2）=0，
∴
20k2
5k2+1
-2-
4k2
5k2+1
=0，
∴3k2-1=0⇒k=±
3
3
，经检验满足△＞0，
∴直线l的方程为：y=
3
3
x-
2
3
3
或y=-
3
3
x+
2
3
3
．
（Ⅲ）在x轴上存在定点N(
5
2
，0)，使得C、B、N三点共线．
依题意知C(
x
 
1
，-
y
 
1
)，直线BC的方程为y+y1=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)，
令y=0，则x=
y1(x2-x1)
y2+y1
+x1=
y1x2+y2x1
y2+y1
，
∵l的方程为y=k（x-2），A、B在直线l上，
∴y1=k（x1-2），y2=k（x2-2）
∴x=
k(x1-1)x2+k(x2-1)x1
k(x1+x2)-4k

=
2kx1x2-2k(x1+x2)
k(x1+x2)-4k

=
2k•
20k2-5
5k2+1
-2k•
20k2
5k2+1
k
20k2
5k2+1
-4k

=
5
2

∴在x轴上存在定点N(
5
2
，0)，使得C、B、N三点共线．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），
代入
x2
5
+y2=1，得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
20k2
5k2+1
，x1x2=
20k2-5
5k2+1
，
∴y1+y2=k(x1+x2-4)=-
4k
5k2+1
，y1-y2=k（x1-x2），
∵(
MA
+
MB
)⊥
AB
，
∴|MA|=|MB|，
∴
(x1-1)2+y1
=
(x2-1)2+y2
，
∴（x1+x2-2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，(1+
k
2
 
)(x1+x2)-2-4
k
2
 
=0，
∴3k2-1=0，解得k=±
3
3
，经检验满足△＞0，
∴直线l的方程为：y=
3
3
x-
2
3
3
或y=-
3
3
x+
2
3
3
．
（Ⅲ） 在x轴上存在定点N(
5
2
，0)，使得C、B、N三点共线．
设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则
CB
∥
CN
，
∵
CB
=(x1-x2，y2+y1)，
CN
=(t-x1，y1)，
∴（x2-x1）y1-（t-x1）（y1+y2）=0，
即（x2-x1）k（x1-2）-（t-x1）k（x1+x2-4）=0．
∴2x1x2-（t+2）（x1+x2）+4t=0，
∴2
20k2-5
5k2+1
-(t+2)
20k2
5k2+1
+4t=0，
∴t=
5
2
．
∴存在N(
5
2
，0)，使得C、B、N三点共线．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
下列有关命题的说法正确的是
 
．
①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”；
②已知x＞0时，（x-1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）；
③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
④命题“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x2+x+1＞0”．
已知sin（3π-α）=
2
cos（
3
2
π+β），
3
sin（
π
2
-α）=-
2
sin（
3π
2
+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求sinα，cosβ．
已知全集U=R，函数f（x）=log3（x2+x-2）的定义域为A，关于x的不等式|x-2|＞a的解集为B．
（Ⅰ）若命题：x∈B是命题x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若A∪B=U，求实数a的取值范围．
已知0≤x≤2，函数f（x）=4x-2x+2+7的最大值为M，最小值为m，求2M-2m的值．
椭圆C的焦点分别为F1（-1，0）F2（1，0），P（1，
2
2
）是椭圆上的一个点
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设原点为O，斜率为
2
2
的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．
已知梯形ABCD中，AD=1，AB=2，∠DAB=
π
3
，DC∥AB，若
DE
=λ
DC
，则当
AE
•
BD
=-
3
4
时，λ=
 
．
如图所示，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的四分之一点，设
AC
=m
AE
+N
AF
，则m+n=
 
．
已知直线ax-y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在是实数a，使得过点P（-2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网