Question

已知全集U=R，函数f（x）=log₃（x²+x-2）的定义域为A，关于x的不等式|x-2|＞a的解集为B．
（Ⅰ）若命题：x∈B是命题x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若A∪B=U，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数的定义域及其求法,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由x²+x-2＞0 可得 x＜-2，或 x＞1，可得A，解绝对值不等式求出B，通过x∈B是命题x∈A成立的充分不必要条件，推出B?A，列出不等式求解即可．
（Ⅱ）若A∪B=U，由（Ⅰ）列出不等式，从而求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数f（x）=log₃（x²+x-2）有意义，必有x²+x-2＞0 可得 x＜-2，或 x＞1，
所以函数的定义域A={x|x＜-2，或 x＞1}，
关于x的不等式|x-2|＞a的解集为B={x|x＜2-a或x＞2+a}．
命题：x∈B是命题x∈A成立的充分不必要条件，可得B?A，即

2-a≤-2 2+a≥1

，解得a≥4．
实数a的取值范围：[4，+∞）．
（Ⅱ）若A∪B=U，则2-a＞2或2+a＜-2，解得：a＜-4，
故实数a的取值范围为（-∞，-4）．

点评：本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，集合关系中参数的取值范围问题，函数与方程的应用，属于中档题．