Question

已知sin（3π-α）=

2

cos（

3

2

π+β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

sin（

3π

2

+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求sinα，cosβ．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：利用诱导公式可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，利用平方关系可得sin²α+3cos²α=2（sin²β+cos²β）=2，cosα=±

2

2

．再利用0＜α＜π，可得α=

π

4

或

3π

4

．即可解出sinα，cosβ．

解答： 解：∵sin（3π-α）=

2

cos（

3

2

π+β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

sin（

3π

2

+β），
∴sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，
∴sin²α+3cos²α=2（sin²β+cos²β）=2，
化为cos²α=

1

2

，∴cosα=±

2

2

．
∵0＜α＜π，∴α=

π

4

或

3π

4

．
当α=

π

4

时，∵sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，0＜β＜π，
∴sinα=

2

2

，cosβ=

3

2

．
当α=

3π

4

时，∵sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，0＜β＜π，
∴sinα=

2

2

，cosβ=-

3

2

．

点评：本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角函数值所在象限的符号，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．