Question

下列有关命题的说法正确的是

 

．
①命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”；
②已知x＞0时，（x-1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）；
③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
④命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1＞0”．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①写出命题“若x²=1，则x=1”的否命题即可；
②根据题意，f（x）在（0，1）上是增函数，由此判断锐角△ABC中，f（sinA）＞f（cosB）；
③判断命题“若x=y，则sinx=siny”的真假性，得出它的逆否命题的真假性；
④写出命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定命题是什么．

解答： 解：对于①，命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²≠1，则x≠1”，∴①错误；
对于②，x＞0时，（x-1）f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，
当△ABC是锐角三角形时，A+B＞

π

2

，∴A＞

π

2

-B，∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，
∴f（sinA）＞f（cosB），②正确；
对于③，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题为真命题，③正确；
对于④，命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1≥0”，∴④错误．
综上，以上正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了否命题与命题的否定问题，利用导数判断函数的增减性问题，命题与逆否命题的真假性问题，是综合性题目．