Question

已知0≤x≤2，函数f（x）=4^x-2^x+2+7的最大值为M，最小值为m，求2^M-2m的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：先将原函数化简并整理成：f（x）=4^x-2^x+2+7=2^2x-4•2^x+7，根据x的取值求出2^x的取值，然后利用换元法转化为二次函数，利用配方法可得结论．

解答： 解：∵f（x）=4^x-2^x+2+7=2^2x-4•2^x+7，
令t=2^x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
∴f（t）=t²-4t+7=（t-2）²+3，
∴当t=2时，最小值m=f（2）=3，
∴当t=4时，最大值M=f（4）=7，
∴2^M-2m=2¹=2．

点评：考查指数函数的单调性，对二次函数进行配方求最值的方法，这种方法是中学阶段常用的方法．