Question

已知a=

∫

2 0

（2x²-x）dx，则（

3

2

ax-

1

x

）⁴的展开式中x的系数为

 

．

Answer 1

考点：定积分,二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：求定积分得到a的值，代入（

3

2

ax-

1

x

）⁴，写出展开式的通项T_r+1，由x的指数等于0求得r的值，则展开式中x的系数可求．

解答： 解：∵a=

∫

2 0

（2x²-x）dx=(

2

3

x3-

1

2

x2)

|

2 0

=

2

3

×23-

1

2

×22=

10

3

，
∴（

3

2

ax-

1

x

）⁴=(

3

2

×

10

3

x-

1

x

)4=(5x-

1

x

)4．
由Tr+1=

C

r 4

(5x)4-r(-

1

x

)r=(-1)r•54-r•

C

r 4

•x4-

3

2

r．
令4-

3

2

r=1，得r=2．
∴（

3

2

ax-

1

x

）⁴的展开式中x的系数为(-1)2×25×

C

2 4

=150．
故答案为：150．

点评：本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，考查二项式的展开式的通项，是中档题．