Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，DC∥AB，$AD=AE=DC=\frac{1}{2}AB=4$，△MDC是等边三角形，且平面MDC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：EC∥平面MAD；
（Ⅱ）求三棱锥B-AMC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出四边形ABCD是矩形，四边形AECD是正方形，从而EC∥AD，由此能证明EC∥平面MAD．
（Ⅱ）三棱锥B-AMC的体积等于三棱锥M-ABC的体积，由此能求出三棱锥B-AMC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）因为在四边形ABCD中，AD⊥AB，DC∥AB，AE=DC，
所以四边形ABCD是矩形，
因为AD=AE，所以四边形AECD是正方形，（3分）
所以EC∥AD，
因为AD?平面MAD，EC?平面MAD，
所以EC∥平面MAD．（6分）
解：（Ⅱ）由图知三棱锥B-AMC的体积等于三棱锥M-ABC的体积．
因为△MDC是等边三角形，平面MDC⊥平面ABCD，DC=4，
所以三棱锥M-ABC底面ABC上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，（8分）
因为四边形AECD是边长为4的正方形，
所以CE⊥AB，CE=4，
又因为AB=8，
所以${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×8×4$=16，（10分）
所以三棱锥M-ABC的体积为V=$\frac{1}{3}×16×2\sqrt{3}=\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$，
即三棱锥B-AMC的体积为V=$\frac{1}{3}×16×2\sqrt{3}=\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．