Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y-3=0．

Answer 1

分析 先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线m上，半径是定值3，所以直线l∥m，才能满足截得的弦长是定值．

解答 解：将圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化为标准式得
[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，
∴圆心C（3-m，2m），半径r=3，
令$\left\{\begin{array}{l}{x=3-m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，消去m得2x+y-6=0，
所以圆心在直线2x+y-6=0上，
又∵直线l经过点（1，1），
若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，
∴直线l与圆心所在直线平行，
∴设l方程为2x+y+C=0，将（1，1）代入得C=3，
∴直线l的方程为2x+y-3=0．
故答案为：2x+y-3=0．

点评 有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，即先求出圆心与半径，然后画出图象，利用点到圆心的距离，半径，弦长等的关系解决问题．