Question

1．若执行如图的程序框图，输出S的值为（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）³展开式中的常数项，则判断框中应填入的条件是（　　）

• A． k＜9？
• B． k＜8？
• C． k＜7？
• D． k＜6？

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项，根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．

解答 解：∵（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）³展开式中的通项为T_r+1=${C}_{3}^{r}$x^3-r（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r=${C}_{3}^{r}$x${\;}^{3-\frac{3r}{2}}$，
∴令3-$\frac{3r}{2}$=0，得r=2，可得：展开式的常数项为C₃²=3，
模拟程序的运行，可得
                     S                                                              k  
第一次循环    log₂3                                                           3
第二次循环    log₂3•log₃4                                                     4
第三次循环    log₂3•log₃4•log₄5                                               5
第四次循环    log₂3•log₃4•log₄5•log₅6                                         6
第五次循环    log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7                                   7
第六次循环    log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7•log₇8=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×…×\frac{lg8}{lg7}$=3     8
由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为3，可得判断框中应填入的条件是k＜8．
故选：B．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于中档题．