Question

5．已知f（x）=e^x-x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对?x≥0，恒有f（x）≥ax²+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=e^x-1，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．
（2）令g（x）=e^x-1-x-ax²，则?x≥0，有g（x）≥0，由g（0）=0，得?m＞0，使得g（x）在（0，m）上单调递增，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（2）∵对?x≥0，恒有f（x）≥ax²+1，
∴e^x-x-ax²-1≥0，
令g（x）=e^x-1-x-ax²，则?x≥0，有g（x）≥0，
∵g（0）=0，∴?m＞0，使得g（x）在（0，m）上单调递增，
∴在（0，t）上，g''（0）=1-2a≥0，解得a$≤\frac{1}{2}$．
下面证明：当a$≤\frac{1}{2}$时，?x≥0，恒有g（x）≥0．
证明：由（1）得?x≥0，有f（x）≥f（0）=0，
∴当x∈[0，+∞）时，e^x-1≥x，且仅当x=0时，等号成立，
∴当x≥0时，g′（x）=e^x-1-2ax≥x-2ax=2x（$\frac{1}{2}-a$）≥0，
且仅当x=0时，等号成立，
∴g（x）在[0，+∞）递增，
∴当x∈[0，+∞）时，g（x）≥g（0）=0．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的单调性质的讨论，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．