Question

6．已知函数 f（ x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$（ x∈R）．
（1）若 f（ x）为奇函数，求 a的值；
（2）在（1）的条件下，求 f（ x）在区间[1，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（ x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，解得a即可得出．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可知：f（ x）在（-∞，+∞）上为增函数，因此f（ x）在区间[1，5]上的最小值为f（1）．即可得出．

解答 解：（1）∵f（ x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即a-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
f（ x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f（ x）在区间[1，5]上的最小值为f（1）．
∵f（1）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{6}$，
∴f（ x）在区间[1，5]上的最小值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．