Question

7．如图甲，在边长为4的等边三角形ABC中，点E，F分别为AB，AC上一点，且EF∥BC，EF=2a，沿EF将三角形AEF折起，使得平面AEF⊥平面EFCB，形成一个如图乙所示的四棱锥，设O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥BE；
（2）求二面角F-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AO⊥EF，AO⊥平面EFCB，由此能证明AO⊥BE．
（Ⅱ）取CB的中点D，以O为原点，分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-AE-B的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF．
∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB，又BE?平面EFCB，
∴AO⊥BE． …（4分）
解：（Ⅱ）如图，取CB的中点D，连接OD，
以O为原点，分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则$A（0，\;\;0，\;\;\sqrt{3}a），\;\;E（a，\;\;0，\;\;0），\;\;B（2，\;\;2\sqrt{3}-\sqrt{3}a，\;\;0）$，
∴$\overrightarrow{AE}=（a，\;\;0，\;\;-\sqrt{3}a），\;\;\overrightarrow{EB}=（2-a，\;\;2\sqrt{3}-\sqrt{3}a，\;\;0）$．
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，\;\;y，\;\;z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow n_1}•\overrightarrow{AE}=ax-\sqrt{3}az=0\\{\overrightarrow n_1}•\overrightarrow{EB}=（2-a）x+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}a）y=0\end{array}\right.$，
令$z=\sqrt{3}$，则$x=3，\;\;y=-\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n_1}=（3，\;\;-\sqrt{3}，\;\;\sqrt{3}）$，
平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（0，\;\;1，\;\;0）$，
∴$cos?\overrightarrow{n_1}，\;\;\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{-\sqrt{3}}}{{\sqrt{15}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴二面角F-AE-B的正弦值为$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$． …（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．