题目内容

11．已知圆C经过点$A（-\sqrt{3}，-1），B（1，\sqrt{3}）$，且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P，Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-2$（点O为原点），求实数k的值；
（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

分析 （1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程．
（2）由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=-2，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．
（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=kx+4\end{array}\right.$，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2-16x-8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．

解答 解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点$A（-\sqrt{3}，-1），B（1，\sqrt{3}）$所以|AC|=|BC|=r，∴$\left\{\begin{array}{l}{（-\sqrt{3}-a）^2}+{（-1-a）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（\sqrt{3}-a）^2}={r^2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ r=2\end{array}\right.$，所以圆C的方程是x2+y2=4．-----（2分）
（2）因为$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=-2，且$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角为∠POQ，
所以cos∠POQ=-$\frac{1}{2}$，∠POQ=120°，所以圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，
又d=$\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，所以k=0．------（5分）
（联立直线与圆的方程结合设而不求求解酌情给分）
（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，-2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆----（7分）
（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=kx+4\end{array}\right.$，
消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2-48（1+k2）＞0，得$k＞\sqrt{3}$或$k＜-\sqrt{3}$．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$①---（8分）
由①得${y_1}{y_2}=（k{x_1}+4）（k{x_2}+4）={k^2}{x_1}{x_2}+4k（{x_1}+{x_2}）+16=\frac{{16-4{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，②${y_1}+{y_2}=k{x_1}+4+k{x_2}+4=k（{x_1}+{x_2}）+8=\frac{8}{{1+{k^2}}}$，③
若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，所以$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}=0$，
因此（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，即x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，-----（9分）
则$\frac{12}{{1+{k^2}}}+\frac{16k}{{1+{k^2}}}+4+\frac{{16-4{k^2}}}{{1+{k^2}}}=0$，所以16k+32=0，k=-2，满足题意．----（10分）
此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，
即${x^2}+{y^2}-\frac{16}{5}x-\frac{8}{5}y+\frac{12}{5}=0$，亦即5x2+5y2-16x-8y+12=0．----（11分）
综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2-16x-8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．----（12分）

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数k的值的求法，考查在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．

练习册系列答案
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不优秀
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（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
下面临界表仅供参考：
P（χ2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（参考公式：χ2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）
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附参考公式与数据：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
P（K2≥k）0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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